SOAL CERITA UNTUK MENENTUKAN NILAI OPTIMUM

SOAL CERITA NILAI OPTIMUM SERTA PEMBAHASANNYA

1. Untuk memproduksi sepeda jenis A dengan harga jual Rp.600.000 suatu perusahaan membutuhkan biaya Rp. 200.000 dan waktu 20 jam. Sedangkan sepeda jenis B dengan harga jual Rp. 800.000 membutuhkan biaya Rp. 100.000 dengan waktu 30 jam. Jika dana yang tersedia Rp. 1.200.000 dan waktu kerja 240 jam per bulan, maka tentukanlah hasil penjualan maksimum yang diperoleh tiap bulan

Jawab:

Misalkan

x = banyaknya sepeda jenis A
y = banyaknya sepeda jenis B
maka dapat disusun kendala biaya dan waktu produksi sebagai berikut:
200000x + 100000y ≤ 1200000
20x + 30y ≤ 240
x ≥ 0
y ≥ 0
Jika disederhanakan menjadi :
2x + y ≤ 12
2x + 3y ≤ 24
x ≥ 0

y ≥ 0
Fungsi penjualan : f(x, y) = 600000x + 800000y
Selanjutnya akan dilukis grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas

Titik A koordinatnya adalah A(0, 8)
Titik C koordinatnya adalah C(6, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :

karena 2x + y = 12 maka 2x + 6 = 12, sehingga 2x = 6, jadi  x = 3
Jadi koordinat titik B adalah B(3, 6)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 600000x + 800000y, sehingga diperoleh :
A(0, 8) → f(A) = 600000(0) + 800000(8) = 6.400.000
B(6, 2) → f(B) = 600000(6) + 800000(2) = 5.200.000
C(3, 6) → f(C) = 600000(3) + 800000(6) = 6.600.000
Jadi hasil penjualan maksimum yang diperoleh tiap bulan adalah Rp. 6.600.000

2. Seorang pedagang minuman menjual dua jenis minuman ringan pada suatu tempat yang dapat menampung 500 botol minuman. Harga beli minuman jenis A dan jenis B masing-masing Rp. 2000 dan Rp 4000 per botol. Jika ia memiliki modal Rp. 1.600.000 serta akan memperoleh laba perbuah Rp. 800 untuk minuman jenis A dan Rp. 600 untuk minuman jenis B, maka berapakah banyaknya minuman minuman jenis A dan B agar diperoleh laba maksimum ?

Jawab
Misalkan
x = banyaknya minuman jenis A
y = banyaknya minuman jenis B
maka dapat disusun kendala modal dan kapasitas kios sebagai berikut:
x + y ≤ 500
2000x + 4000y ≤ 1.600.000
x ≥ 0
y ≥ 0
Jika disederhanakan menjadi :
x + y ≤ 500
x + 2y ≤ 800
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi laba : f(x, y) = 800x + 600y
Selanjutnya akan dilukis grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas

Titik A koordinatnya adalah A(0, 400)
Titik C koordinatnya adalah C(500, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :

karena x + y = 500 maka x + 300 = 500, sehingga x = 200
Jadi koordinat titik B adalah B(200, 300)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 800x + 600y, sehingga diperoleh :
A(0, 400)     → f(A) = 800(0) + 600(400) = 240.000
B(200, 300) → f(B) = 800(200) + 600(300) = 360.000
C(500, 0)     → f(C) = 800(500) + 600(0) = 400.000
Jadi keuntungan maksimum yakni sebesar Rp. 400.000 diperoleh jika dijual minuman jenis A saja sebanyak 500 botol.

3. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut hanya dapat menampung 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp 10.000,00 dan keuntungan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 5.000,00. Jika banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka tentukanlah keuntungan terbesar yang dapat diperoleh oleh pemilik toko.

Pembahasan :
Pada soal ini, untuk mengetahui keuntungan terbesar maka yang menjadi fungsi tujuan atau fungsi objektifnya adalah keuntungan penjualan sepatu. Jadi fungsi tujuannya adalah :
F(x,y) = 10.000x + 5.000y

Dengan pemisalan :
sepatu laki-laki = x
sepatu perempuan = y

Sistem pertidaksamaan untuk soal tersebut adalah sebagai berikut :
 x + y <= 400
100 => x <= 150
150 => y <= 250
Karena maksimum sepatu laki-laki hanya 150 pasang, maka maksimum sepatu perempuan = 400 - 150 = 250.

Dari sistem pertidaksamaan tersebut, maka diperoleh grafik sebagai berikut :

Dari grafik jelas telihat bahwa keuntungan maksimum berada pada titik pojok paling atas yaitu titik (150,250). Maka nilai maksimum dari fungsi tujuan F(x,y) = 10.000x + 5000y adalah :

F(150,250) = 150 (10.000) + 250 (5.000) = 2.750.000

Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh pemilik toko adalah Rp 2.750.000,00.

4. Seorang petani memiliki tanah tidak kurang dari 10 hektar. Ia merencanakan akan menanami padi seluas 2 hektar sampai dengan 6 hektar dan menanam jagung seluas 4 hektar sampai dengan  6 hektar. Untuk menanam padi perhektarnya diperlukan biaya Rp 400.000,00 sedangkan untuk menanam jagung per hektarnya diperlukan biaya Rp 200.000,00. Agar biaya tanam minimum, tentukan berapa banyak masing-masing padi dan jagung yang harus ditanam.

Pembahasan :
Dengan memisalkan padi = x dan jagung = y, fungsi tujuan yang memenuhi soal di atas adalah sebagai berikut :
F(x,y) = 400.000x + 200.000y

Model matematika yang memenuhi soal di atas adalah :
x >= 2 ---> paling sedikit 2 hektar padi
x <= 6 ---> paling banyak 6 hektar padi
y >= 4 ---> paling sedikit 4 hektar jagung
y <= 6 ---> paling banyak 6 hektar padi
x + y >= 10 ---> tanah tidak kurang 10 hektar

Dari grafik diketahui titik pojok A(4,6), B(6,6), dan C(6,4). Substitusi ke fungsi tujuan F(x,y) = 400.000x + 200.000y, maka diperoleh :
A(4,6) ---> F(x,y) = 400.000(4) + 200.000(6) = 2.800.000
B(6,6) ---> F(x,y) = 400.000(6) + 200.000(6) = 3.600.000
C(6,4) ---> F(x,y) = 400.000(6) + 200.000(4) = 3.200.000

Jadi agar biaya tanam minimum, petani sebaiknya menanam 4 hektar padi dan 6 hektar jagung.

5. Sebuah perusahaan properti memproduksi dua macam lemari pakaian yaitu tipe lux dan tipe sport dengan menggunakan 2 bahan dasar yang sama yaitu kayu jati dan cat pernis. Untuk memproduksi 1 unit tipe lux dibutuhkan 10 batang kayu jati dan 3 kaleng cat pernis, sedangkan untuk memproduksi 1 unit tipe sport dibutuhkan 6 batang kayu jati  dan 1 kaleng cat pernis. Biaya produksi tipe lux dan tipe sport masing-masing adalah Rp 40.000 dan Rp 28.000 per unit. Untuk satu periode produksi, perusahaan menggunakan paling sedikit 120 batang kayu jati dan 24 kaleng cat pernis. Bila perusahaan harus memproduksi lemari tipe lux paling sedikit 2 buah dan tipe sport paling sedikit 4 buah, tentukan banyak lemari tipe lux dan tipe sport yang harus diproduksi agar biaya produksinya minimum.

Pembahasan:
Karena yang ditanya adalah biaya produksi minimum, maka ongkos produksi masing-masing tipe lemari merupakan fungsi tujuannya. Bila kita misalkan tipe lux = x dan tipe sport = y, maka fungsi tujuannya adalah sebagai berikut :
F(x,y) = 40.000x + 28.000y

Selanjutnya, model matematika untuk kendala yang diberikan adalah seperti di bawah ini. Perhatikan bahwa tanda pertidaksamaan yang digunakan untuk soal penentuan nilai minimum adalah lebih besar dari sama dengan (>=) seperti di bawah ini :
x >= 2 ---> karena tipe lux paling sedikit 2 buah
y >= 4 ---> karena tipe sport paling sedikit 4 buah
10x + 6y >= 120 ---> kayu jati yang digunakan paling sedikit 120 batang
3x + y >= 24 ---> cat pernis yang digunakan paling sedikit 24 kaleng

Titik potong masing-masing kendala terhadap sumbu x dan sumbu y adalah sebagai berikut :
untuk 10x + 6y = 120
misal x = 0, maka y = 20 ---> (0,20)
misal y = 0, maka x = 12 ---> (12,0)

untuk 3x + y = 24
misal x = 0, maka y = 24 ---> (0,24)
misal y = 0, maka x = 8 ---> (8,0)

Setelah itu kita gambarkan grafik sesuai dengan titik-titik yang telah kita peroleh dan tentukan daerah himpunan penyelesaiannya. Karena lebih besar sama dengan (>=), maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah di atas/kanan garis.

Dari garfik di atas jelas terlihat bahwa terdapat tiga titik pojok yang akan diuji untuk dilihat titik manakah yang menghasilkan nilai minimum.

Titik C merupakan perotongan antara garis y = 4 dan 10x + 6y = 120. Dengan mensubstitusi nilai y = 4 pada persamaan 10x + 6y = 120, maka diperoleh :
10x + 6(4) = 120
10x = 96
x = 9,6 = 9 ---> digenapkan 9 karena tidak mungkin 0,6 buah.
maka titik C(9,4)

Titik B merupakan perpotongan antara garis 10x + 6y = 120 dan garis 3x + y = 24. Dengan metode substitusi diperoleh :
3x + y = 24 ---> y = 24 - 3x ---> substitusi ke persamaan 10x + 6y = 120
10x + 6(24 - 3x) = 120
10x + 144 - 18x = 120
-8x = -24
x = 3
Sunstitusi x = 3 ke persamaan y = 24 - 3x
y = 24 - 3(3) = 15 ---> titik B(3,15)

Titik A merupakan perpotongan antara garis 3x + y = 24 dengan x = 2. Dengan mensubstitusikan nilai x pada persamaan 3x + y = 24, maka diperoleh :
3(2) + y = 24
y = 24 - 6
y = 18 ---> titik A(2,18)

Langkah terakhir, substitusi masing-masing titik ke fungsi tujuan F(x,y) = 40.000x + 28.000y sebagai berikut :
A(2,18) ---> F(x,y) = 40.000(2) + 28.000(18) = 584.000
B(3,15) ---> F(x,y) = 40.000(3) + 28.000(15) = 540.000
C(9,4) ---> F(x,y) = 40.000(9) + 28.000(4) = 482.000

Jadi agar biaya produksi minimum, perusahaan sebaiknya memproduksi 9 buah lemari tipe lux dan 4 buah lemari tipe sport dengan biaya produksi Rp 482.000,00

6. Biaya produksi satu buah payung jenis A adalah Rp20.000,00 per buah, sedangkan biaya satu buah produksi payung jenis B adalah Rp30.000,00. Seorang pengusaha akan membuat payung A dengan jumlah tidak kurang dari 40 buah. Sedangkan banyaknya payung jenis B yang akan diproduksi minimal adalah dari 50 buah. Jumlah maksimal produksi kedua payung tersebut adalah 100 buah. Biaya minimum yang dikeluarkan untuk melakukan produksi kedua payung sesuai ketentuan tersebut adalah?

Pembahasan:

Pemisalan:

• x = banyak payung A
• y = banyak payung B

Model matematika dari permasalahan tersebut adalah:

Fungsi tujuan: meminimumkan f(x,y) = 20.000x + 30.000y

Fungsi kendala:

• x ≥ 40
• y ≥ 50
• x + y ≤ 100

Daerah penyelesaian yang memenuhi permasalahan:

Nilai minimum akan diperoleh melalui titik koordinat yang dilalui garis selidik yang pertama kali, yaitu titik A(40, 50).

Sehingga, biaya produksi minimum adalah

f(40,50) = 20.000(40) + 30.000(50)
f(40,50) = 800.000 + 1.500.000
f(40,50) = 2.300.000

7. Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

Pembahasan 2:

Titik ekstrim pada gambar adalah:

• A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.
• B(3, 6)
• C(8, 2)
• D(8, 0)

Nilai tiap titik ekstrim adalah:

• 
• 
• 

Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.

8. Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Medan berturut-turut Rp 9.000.000,00 dan Rp 8.000.000,00. Modal yang dimiliki pak Mahmud adalah Rp 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Aceh dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud.

Pembahasan :
Karena ditanya keuntungan, tentu fungsi tujuannya adalah besar keuntungan dari penjualan sapi dan kerbau. Untuk itu, tentukan terlebih dahulu keuntungan menjual sapi dan kerbau sebagai berikut :
untung sapi = Rp 10.300.000,00 - Rp 9.000.000,00 = Rp 1.300.000,00
untung kerbau = Rp 9.200.000,00 - Rp 8.000.000,00 = Rp 1.200.000,00

Misalkan banyak sapi = x dan banyak kerbau = y, maka fungsi tujuan menjadi :
F(x,y) = 1.300.000x + 1.200.000y

Model matematika yang memenuhi soal adalah :
x >= 0 ---> banyak sapi tidak mungkin negatif
y >= 0 ---> banyak kerbau tidak mungkin negatif
x + y <= 15 ---> karena kandang hanya dapat menampung 15 ekor.
Karena modal Pak Mahmud Rp 124.000.000,00 maka :
9.000.000x + 8.000.000y <= 124.000.000  ---> disederhanakan menjadi :
9x + 8y <= 124

Selanjutnya, kita tentukan titik koordinat masing-masing garis agar dapat kita gambar dalam grafik.
Untuk x + y = 15
jika x = 0, maka y = 15 ---> (0,15)
jika y = 0, maka x = 15 ---> (15,0)

Untuk 9x + 8y = 124
jika x = 0, maka y = 15,5 ---> (0, 16) ---> digenapkan karena jumlah sapi tidak mungkin 1/2.
jika y = 0, maka x = 13,7 ---> (13 ,0) ---> digenapkan menjadi 13 karena melihat kondisi grafik, titik ini akan menjadi titik pojok, jadi 13,7 tidak digenapkan ke 14 karena jika dibulatkan ke 14 maka akan lebih dari Rp 124.000.000,00.

Dari grafik di atas dieproleh tiga titik pojok yang memenuhi syarat untuk menghasilkan nilai maksimum yaitu titik A, B, dan C. Titi A dan C dapat ditentukan secara langsung yaitu A(0,15) dan C(13,0). Titik B merupakan titik potong antara garis x + y = 15 dan 9x + 8y = 124.

x + y = 15 , maka x = 15 - y ---> substitusi ke persamaan 9x + 8y = 124
9(15 - y) + 8y = 124
135 - 9y + 8y = 124
y = 11

x + y = 15

x + 11 = 15

x = 4 ----> jadi titik B(4,11)

Selanjutnya substitusi masing-masing titik ke fungsi tujuan :
A(0,15) ---> f(x,y) = 1.300.000(0) + 1.200.000(15) = 18.000.000
B(4,11) ---> f(x,y) = 1.300.000(4) + 1.200.000(11) = 18.400.000
C(13,0) ---> f(x,y) = 1.300.000(13) + 1.200.000(0) = 16.900.000

Jadi, agar keuntungannya maksimum, jumlah sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud adalah 4 ekor sapi dan 11 ekor kerbau.

9. Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Pembahasan 1:

-Langkah 1 menggambar grafiknya  

 

-Langkah 2 menentukan titik ekstrim

Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir. 

- Langkah 3 menyelidiki nilai optimum

Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

  

 Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18

10. Seorang pedagang furnitur ingin mengirim barang dagangannya yang terdiri atas 1.200 kursi dan 400 meja. Untuk keperluan tersebut, ia akan menyewa truk dan colt. Truk dapat memuat 30 kursi lipat dan 20 meja lipat, sedangkan colt dapat memuat 40 kursi lipat dan 10 meja lipat. Ongkos sewa sebuah truk Rp 200.000,00 sedangkan ongkos sewa sebuah colt Rp 160.000,00. Tentukan jumlah truk dan colt yang harus disewa agar ongkos pengiriman minimum.

pembahasan:

Agar ongkos kirim minimum, maka fungsi tujuannya adalah ongkos sewa. Misal truk = x dan colt = y, maka fungsi tujuannya menjadi :
F(x,y) = 200.000x + 160.000y

Model matematika yang memenuhi soal di atas adalah sebagai berikut :
30x + 40y >=1.200 ---> 3x + 4y >= 120
20x + 10y >= 400 ---> 2x + y >= 40
x >= 0
y >= 0

Tentukan titik koordinat garis kendala yang diperoleh sebagai beikut :
untuk 3x + 4y >= 120
misal x = 0, maka y = 30 ---> (0,30)
misal y = 0, maka x = 40 ---> (40,0)

untuk 2x + y >= 40

misal x = 0, maka y = 40 ---> (0,40)

misal y = 0, maka x = 20 ---> (20,0) 

Gambarkan ke dalam grafik dan tentukan daerah himpunan penyelesaiannya seperti berikut :

Dari grafik di atas,diperoleh titik A(0,40), B(8,24), dan C(40,0). Untuk memastikan titik mana yang menghasilkan nilai minimum, ada baiknya kita uji satu-persatu.
A(0,40) ---> F(x,y) = 200.000(0) + 160.000(40) = 6.400.000
B(8,24) ---> F(x,y) = 200.000(8) + 160.000(24) = 5.440.000
C(40,0) ---> F(x,y) = 200.000(40) + 160.000(0) = 8.000.000


Jadi agar biaya pengiriman minimum, pedagang tersebut sebaiknya menyewa 8 truk dan 24 colt.


DAFTAR PUSTAKA


https://www.materimatematika.com/2017/10/menafsirkan-nilai-optimum-dalam-program.html


http://belajarmaterimatematika.blogspot.com/2014/10/contoh-soal-cerita-program-linear-dan.html?m=1


https://idschool.net/sma/contoh-soal-dan-pembahasan-program-linear-matematika-sma/


https://www.studiobelajar.com/program-linear/