SIFAT-SIFAT LIMIT DAN CONTOH SOALNYA SERTA SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

SIFAT-SIFAT LIMIT DAN CONTOH SOALNYA SERTA SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

Marsha Regita R

24

XI IPS 3

I. Sifat-Sifat Limit Fungsi dan Contohnya

Dengan teorema limit pusat, maka didapatlah 8 sifat limit fungsi, Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlaku, sebagai berikut :

1. Contoh sifat lim _x →a c = c

Tentukan nilai lim _x →2 7 !!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

c = 7

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c = c, maka :

lim _x →2 7 = 7

Jadi nilai dari lim _x →2 7 adalah 7

2. Contoh sifat lim _x →a  xⁿ = aⁿ 

Tentukan nilai lim _x →2 x³ !!!

Jawab :

Dik :

a = 2

n = 3

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a xⁿ = aⁿ , maka :

lim _x →2 x³ = 2³

lim _x →2 x³ = 8

Jadi nilai dari lim _x →2 x³ adalah 8

3. Contoh sifat lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x)

Tentukan nilai lim _x →2 4( x + 2 ) !!!

Jawab :

Dik :

a = 2 

c = 4

f(x) = ( x + 2 )

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x), maka :

lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 ( 2 + 2 ))

lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 4)

lim _x →2 4( x + 2 ) = 16

Jadi nilai lim _x →2 4( x + 2 ) adalah 16

4. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x) 

Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x), maka :

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = lim _x →2 x³ + lim _x →a x⁴

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 2³ + 2⁴

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 8  + 16

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 24

Jadi nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) adalah 24

5. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x)

Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ . x⁴) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x), maka :

lim _x →2 ( x³ . x⁴) = lim _x →2 x³ . lim _x →2 x⁴

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  2³ . 2⁴

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  8 . 16

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  128

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x³ . x⁴) adalah  128

6. Contoh sifat lim _x →a  f(x)/g(x) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x))

Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ / x³) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2

f(x) = x⁴

g(x) = x³

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x →a ( f(x)/g(x)) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x)), maka :

lim _x →2 ( x⁴/x³) = (lim _x →2 x⁴)/(lim _x →2 x³)

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2⁴/2³

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 16/8

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴/x³) adalah 2

7. Contoh sifat lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ

Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ + 1)² !!!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

f(x) = x⁴ + 1

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ, Maka :

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (lim _x →2 x⁴ + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (2⁴ + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (16 + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 17²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 289

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴ + 1)² adalah 289

8. Contoh sifat lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x)

Tentukan nilai lim _x →2²√x⁴ !!!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

f(x) = x⁴

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x), maka :

lim _x →2²√x⁴ = ²√lim _x →2 x⁴

lim _x →2²√x⁴ = ²√2⁴

lim _x →2²√x⁴ = ²√¹⁶

lim _x →2²√x⁴ = 4

II. Soal Kontekstual (kehidupan sehari-hari) yang Berhubungan dengan Limit

Contoh 1

Compek dan Kiah adalah teman 1 kelompok belajar di kelasnya. Suatu hari mereka mendapat tugas dari guru untuk menggambar beberapa grafik fungsi dengan mencari sebanyak mungkin titik yang dilalui titik tersebut. Pada saat Compek dan Kiah menentukan beberapa nilai di daerah asalnya, mereka mendapatkan kesulitan untuk menentukan daerah hasil untuk f(x)=(x⁴ - 1)/(x² - 1), mereka sulit mendapatkan nilai fungsi x=1 dan -1 karena jika disubtitusikan nilainya akan menjadi 0/0 

Jawab :

lim -> 1=(x⁴ - 1)/(x² - 1) 

=> (x² - 1)(x² + 1)/(x² - 1) yang sama di coret sehingga hasilnya adalah (x² + 1) = 2

Contoh 2

Seekor tawon diamati oleh Compekiah sedang hinggap di tanah. pada suatu saat tawon tersebut terbang membentuk sebuah lintasan parabola. setelah terbang selama 1 menit, tawon tersebut telah mencapai tinggi maksimum sehingga ia terbang datar setinggi 5m selama 1mnt. pada menit berikutnya, tawon tersebut terbang menukik lurus ke tanah sampai mendarat kembali pada akhir menit ketiga. 

Jawab :

t mendekati 1

lim->1- -5t² + 10t = 5(disubtitusikan)

lim->1+ 5 = 5 (karena sudah pasti)

t mendekati 2

lim->2- 5 = 5 (karena sudah pasti)

lim-2 + -5t + 15 = 5 (disubtitusikan)

berarti dapat dinyatakan lim->2 + 5 = lim->2- -5t² + 10t

sehingga fungsi lintasan tawon mempunyai limit sebesar 5 pada saat t mendekati 2

III. Soal Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Contoh 1

Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:

limx→2

 

x² - 4x - 2

Jawab :

Jika hasil substitusi adalah 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak dapat dilakukan dengan cara memasukkan nilai langsung, melainkan harus difaktorkan terlebih dahulu

limx→2

 x² - 4x - 2 = 2² - 42 - 2 = 00 (bentuk tak tentu)

Jadi hasil faktornya adalah :

limx→2

 x² - 4x - 2 = (x-2)(x+2)(x-2) = (x+2)= (2+2) = 4

Contoh 2

Hitunglah nilai limit dibawah ini :

limx→3

 

x² - 9√ x² + 7 - 4

Jawab :

Dengan substitusi langsung

limx→3

 (x² - 9)√ x² + 7 - 4 = (3² - 9)√ 3² + 7 - 4 = 00

Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:

limx→3

 (x² - 9)√ x² + 7 - 4 x √x² + 7 + 4√ x² + 7 + 4

⇔ 

limx→3

 (x² - 9).(√x² + 7 + 4)(x² + 7) - 16

⇔ 

limx→3

 (x² - 9).(√x² + 7 + 4)(x² - 9)

⇔ 

limx→3

 (√x² + 7 + 4) = (√3² + 7 + 4) = 8

Contoh 3 

Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:

limx→2

 x² - 5x + 6x² - 4

Jawab :

Jika disubstitusi langsung, maka akan didapatkan :

limx→2

 x² - 5x + 6x² - 4 = 2² - 5.(2) + 62² - 4 = 00 (bentuk tidak tentu)

Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yaitu : dengan mengfaktorkan dan melakukan turunan. Dalam soal no.4 ini kita lakukan dengan turunan :

limx→2

 x² - 5x + 6x² - 4 = 2x - 52x = 2.(2) - 52.(2) = -14

Contoh 4

Tentukan nilai limit dari :

limx→∞

 4x - 12x + 1

Jawab :

Perhatikan pangkat tertinggi dari x pada f (x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu.

limx→∞

 4x - 12x + 1

⇔ 

limx→∞

 

4xx

 - 

1x2xx

 + 

1x

⇔ 

limx→∞

 

4 - 

1x

2 + 

1x

 = 

4 - 

1∞

2 + 

1∞

 = 

4 - 02 - 0

 = 2

Contoh 5

Tentukan nilai limit dari :

limx→∞

 4x + 1x² - 2

Jawab :

Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x² yang terdapat pada x² - 2. Sehingga :

limx→∞

 4x + 1x² - 2

⇔ 

limx→∞

 

4xx²

 + 

1x²x²x²

 - 

2x²

⇔ 

limx→∞

 

4x

 + 

1x²

1 - 

2x²

 = 

4∞

 + 

1(∞)²

1 - 

2(∞)²

 = 

0 + 01 - 0

 = 0

Contoh 6

Carilah nilai limit dari :

limx→∞

 2x² - 5x² - 3

Jawab :

Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2. Sehingga :

limx→∞

 2x² - 5x² - 3

⇔ 

limx→∞

 

2x²x²

 - 

5x²x²x²

 - 

3x²

⇔ 

limx→∞

 

2 - 

5x²

1 - 

3x²

 = 

2 - 

5(∞)²

1 - 

3(∞)²

 = 

2 - 01 - 0

 = 2

Contoh 7 

Carilah limit dari :

limx→a

 x⁴ - a⁴x - a

Jawab :

Jika hasil substitusi adalah 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak dapat dilakukan dengan cara memasukkan nilai langsung, melainkan harus difaktorkan terlebih dahulu

limx→a

 x⁴ - a⁴x - a = 

a⁴ - a⁴a - a

 = 

00

 (bentuk tak tentu)

Jadi hasil faktornya adalah :

⇔ 

limx→a

 (x² - a²)(x² + a²)x - a

Sederhanakan lagi untuk : (x² - a²), sehingga menjadi :

⇔ 

limx→a

 (x - a)(x + a)(x² + a²)(x - a) = (a + a)(a² + a²) = 4a³

Contoh 8

Hitunglah nilai limit dibawah ini :

limx→2

 

√x + 2 - √3x - 2

x - 2

Jawab :

Dengan substitusi langsung :

limx→2

 

√x + 2 - √3x - 2

x - 2 = 

√2 + 2 - √3(2) - 2

2 - 2 = 

√4 - √4

0 = 00

Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:

limx→2

 

√x + 2 - √3x - 2

x - 2 x 

√x + 2 + √3x - 2

√x + 2 + √3x - 2

limx→2

 (x + 2)(3x -2)(x - 2)(√x + 2 + √3x - 2)

limx→2

 -2x + 4(x - 2)(√x + 2 + √3x - 2)

limx→2

 -2(x - 2)(x - 2)(√x + 2 + √3x - 2) = -2(√2 + 2 + √3(2) - 2) = -2(√4 + √4) = -12

Contoh 9

Carilah nilai limit berikut :

a. 

lim  4x→3

b. 

lim  3xx→3

c. 

limx→2

 3x2

d. 

lim  3x² + 5x→3

e. 

limx→2

 2x² + 42x + 2

Jawab :

  a. 

lim  4 = 4x→3 

b. 

lim  3x = 3.(3) = 9x→3

c. 

limx→2

 3x2= 3.(2)2 = 3

d. 

lim  3x² + 5 = 3.(3)² + 5 = 32x→3

e. 

limx→2

 2x² + 42x + 2 = 2.(2²) + 42.(2) + 2 = 126 = 2

III. Daftar Pustaka

https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/10/sifat-sifat-limit-fungsi-dan-contohnya.html?m=1

https://brainly.co.id/tugas/130417

https://bfl-definisi.blogspot.com/2017/10/contoh-soal-limit-fungsi-aljabar-dan.html?m=1