PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

Marsha Regita

24 / XI IPS 3 

Soal Pilihan Ganda dan Pembahasannya yang Berkaitan dengan Penerapan Turunan

1. Suatu perusahaan memproduksi $x$ unit barang dengan biaya $(4x^2-8x+24)$ ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. Rp16.000,00                    D. Rp52.000,00
B. Rp32.000,00                    E. Rp64.000,00
C. Rp48.000,00

PEMBAHASAN:

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g\left(x\right)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h\left(x\right)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(4x^2-8x+24)\\ & =4x^3-8x^2+24x\\ g\left(x\right)& =40x\\ h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =40x-(4x^3-8x^2+24x)\\ & =-4x^3+8x^2+16x\end{array}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h^{\prime }\left(x\right)$ harus bernilai $0$. 
$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =-4x^3+8x^2+16x\\ h^{\prime }\left(x\right)& =-12x^2+16x+16\\ 0& =-12x^2+16x+16\\ \text{Bagi}& \text{kedua ruas dengan -4}\\ 0& =3x^2-4x-4\\ 0& =(3x+2)(x-2)\end{array}$
Diperoleh $x=-\frac{2}{3}$ atau $x=2$. Karena $x$ menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h\left(x\right)$. 
$\begin{array}{cc}h\left(2\right)& =-4(2{)}^3+8(2{)}^2+16\left(2\right)\\ & =-4\left(8\right)+8\left(4\right)+32=32\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.

(Jawaban B)

2. Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi h

$h$meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h\left(t\right)=120t-5t^2$, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $270$                     C. $670$                  E. $770$
B. $320$                      D. $720$   

PEMBAHASAN:

Diketahui: $h\left(t\right)=120t-5t^2$. 
Turunan pertama fungsi $h$ adalah
$h^{\prime }\left(t\right)=120-10t$
Nilai $t$ akan maksimum saat $h^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis
$120–10t=0\iff 10t=120\iff t=12$
Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t=12$, yaitu
$\begin{array}{cc}h\left(12\right)& =120\left(12\right)-5(12{)}^2\\ & =1440-720=720\end{array}$ 
Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $720\text{meter}$
(Jawaban D)

3. Diketahui  dan f’ adalah turunan pertama dari f. Nilai dari f’(1) = ...

a.    20
b.    21
c.    23
d.    23
e.    26
PEMBAHASAN:


               = 24 – 6 + 6 – 1
               = 23
(Jawaban C)

4. Diketahui fungsi dan turunan pertama dari f adalah f’. Maka f’(x) = ...
a.    4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
b.    -2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
c.    2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
d.    -4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
e.    sin (2x + 3) cos (2x + 3)

PEMBAHASAN:

    f’(x) = 2 sin (2x + 3) . 2. cos (2x + 3)
           = 4sin(2x + 3)cos(2x + 3)
(Jawaban A)

5. Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari (2x−600+30x) ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu ⋯ hari. 

A. 80                      C. 150                       E. 320
B. 100                    D 240   

PEMBAHASAN:

Misalkan f(x) menyatakan biaya proyek selama x hari dalam satuan ribu rupiah, sehingga
f(x)=x(2x−600+30x)=2x2−600x+30
Agar biaya proyek minimum, nilai x yang bersesuaian dapat ditentukan saat f′(x)=0, yakni
4x−600=04x=600x=150
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 150 hari agar biaya proyeknya minimum.
(Jawaban C)

6. Sebuah balok tanpa tutup tampak seperti gambar.

Jika kotak itu mempunyai volume ${\text{108 cm}}^3$, maka agar luas permukaan kotak minimum, nilai $x$ adalah $\cdots \text{cm}$.
A. $3$                       C. $6$                   E. $12$
B. $4$                       D. $8$   

PEMBAHASAN :

Nyatakan $t$ dalam $x$ dengan menggunakan volume kotak berbentuk balok tersebut. 
$\begin{array}{cc}V& =108\\ x\cdot x\cdot t& =108\\ x^2\cdot t& =108\\ t& =\frac{108}{x^2}\end{array}$
Nyatakan luas permukaan ($L$) balok sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =4(x\cdot t)+(x\cdot x)\\ & =4xt+x^2\\ & =4x\left(\frac{108}{x^2}\right)+x^2\\ & =432x^{-1}+x^2\end{array}$
Luas permukaan akan minimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -432x^{-2}+2x& =0\\ 2x& =432x^{-2}\\ x^3& =216\\ x& =\sqrt[3]{3216}=6\end{array}$
Jadi, nilai $x$ agar luas permukaan kotak minimum adalah $6\text{cm}$
(Jawaban C)

DAFTAR PUSTAKA

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-aplikasi-turunan-diferensial/

https://www.ajarhitung.com/2017/02/contoh-soal-dan-pembahasan-tentang_14.html