MATRIK, MACAM-MACAM MATRIK DAN OPERASI MATRIK

PENGERTIAN MATRIK

Matriks merupakan kumpulan pada buah bilangan yang tersusun antara baris dan kolom atau bisa disusun dengan keduanya dan kemudian dihimpit dengan tanda kurung. Tanda kurung yang dipakai untuk mengapit susunan anggota matriks tersebut bisa berupa tanda kurung biasa atau kurung siku. Matrik mempunyai elemen-elemen pada bilangan tertentu untuk penyederhanan data agar dapat dengan mudah dikelolanya. Kumpulan elemen atau unsur yang tersusun secara horizontal disebut baris, sementara kumpulan elemen atau unsur yang tersusun secara vertikal disebut dengan kolom.

Matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut dengan matriks m x n dan disebut sebagai matriks yang memiliki orde m x n. Selain itu, penulisan matriks menggunakan huruf kapital dan tebal seperti A, B, C, …., dan seterusnya. Dalam matematika, matriks merupakan susunan bilangan, simbol, atau disebut dengan ekspresi, yang disusun dalam baris & kolom sehingga membentuk bangun persegi. Sebuah matrik dapat diperoleh dengan cara menukar elemen pada baris menjadi kolom atau elemen. Dan dapat disimbolkan dengan lambang tanda petik A’ atau dengan huruf T kecil diatasnya AT .

MACAM-MACAM MATRIK

A. Matrik kolom

Matriks kolom merupakan matriks yang hanya satu kolom. Biasanya matriks kolom berordo m x 1.

Contoh matriks kolom seperti berikut :

Matriks A disebut matriks kolom 3 x 1.
Matriks B disebut matriks kolom 4 x 1.

B. Matrik baris

Matriks baris merupakan matriks yang hanya memiliki satu baris. Biasanya matriks baris berordo 1 x n.

Contoh matriks baris seperti berikut :

di sebut matrik baris 1 x 3

disebut matrik baris 1 x 4

C. Matrik persegi atau matrik bujur sangkar

Matriks persegi merupakan matriks yang memilki banyak baris & banyak kolom yang sama. Secara umum, matriks persegi berordo n x n yaitu a11, a22, ..., ann.

Contoh dari matriks persegi seperti berikut :

dengan elemen diagonal a11 dan a22.

dengan elemen diagonal a11 , a22 dan a33.

D. Matrik Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar /persegi yang elemen-elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen-elemen dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas.

Dan sebaliknya jika yang bernilai nol adalah elemen-elemen diatas elemen diagonal maka disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai tak nol.

Contoh Matriks Segitiga atas & Matriks Segitiga Bawah seperti berikut :

Matriks A adalah matriks segitiga atas.

Matriks B adalah matriks segitiga bawah.

Matriks C adalah matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah.

E. Matriks Nol

Matriks nol adalah matriks berordo m x n yang elemen-elemennya bernilai 0.

Contoh matriks nol seperti berikut :

F. Matriks Diagonal

Matriks diagonal ini berasal dari matriks persegi. Matriks persegi disebut sebagai matriks diagonal apabila elemen-elemen (unsur) selain elemen diagonal utamanya ialah nol.

Contoh matriks diagonal :

$A=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} ,B=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0&0 \end{bmatrix} \\\\\\ ~~~~~C=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0& 0 \end{bmatrix} ,D=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 2& 0\\ 0&0 & 3 \end{bmatrix}$

G. Matriks Skalar

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua entri pada diagonal utamanya bernilai sama, tetapi tidak nol.

Contoh Matriks Skalar :

H. Matriks Identitas atau Matriks Satuan

Matriks identitas merupakan matriks diagonal yang mana seluruh elemen pada diagonal utamanya adalah 1. Matriks identitas pada umunya dinotasikan dengan I.

Contoh matriks indentitas seperti berikut :

I. Matrik simetri

Matriks A disebut matriks simetri, jika matriks tersebut berbentuk bujur sangkar dan

Contoh matriks simetri, seperti berikut :

J. Matrik mendatar

Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

Contoh Matriks Mendatar :

K. Matrik tegak

Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

Contoh Matriks Tegak :

I. Matrik transpose

Matriks transpose Am x n yang dinotasikan dengan A’ merupakan matriks berordo n x m yang mana baris-barisnya ialah kolom-kolom matriks Am x n.

Contoh matriks transpose, misalkan terdapat matriks A :

Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3

OPERASI MATRIK

A. Penjumlahan Matriks

Operasi hitung matriks pada penjumlahan memiliki syarat yang harus dipenuhi agar dua buah matriks dapay dijumlahkan. Syarat dari dua buah matriks atau lebih dapat dijumlahkan jika memiliki nilai ordo yang sama. Artinya, semua matriks yang dijumlahkan harus memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.

Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 hanya bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4. Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 tidak bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 4 dan kolom 3. Kesimpulannya, jumlah baris dan kolom antar dua matriks yang akan dijumlahkan harus sama.

Operasi hitung penjumlahan matriks memenuhi sifat komutatif, asosiatif, memiliki matriks identitas matriks nol, dan memiliki lawan matriks. Lawan matriks A adalah matriks $-A$ , di mana elemen-elemen matriks $-A$ merupakan lawan dari elemen-elemen matriks A. Secara ringkas, sifat operasi penjumlahan matriks dapat dilihat pada gambar di bawah.

Selanjutnya, kita akan mempelajari cara melakukan operasi hitung penjumlahan dua buah matriks. Penjelasan akan diberikan dalam bentuk contoh soal secara umum.

Contoh cara melakukan operasi penjumlahan pada matriks:

Penjumlahan Matriks

B. Pengurangan Matriks
Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

Contoh:

C. Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij) maka matriks kA(kaij) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (cij ) = (kaij )
Pada perkalian matriks dengan skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB
Contoh:

D. Perkalian Matriks dengan Matriks

Beberapa hal yang perlu diperhatikan:

Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif
Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua
Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij) berukuran mxn dimana

Contoh :

Beberapa Hukum Perkalian Matriks:

Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
Tidak Komutatif A*B ¹ B*A
Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan

A = 0 dan B = 0
A = 0 atau B = 0
A ¹ 0 dan B ¹ 0

Bila A*B = A*C, belum tentu B = C

CONTOH SOAL MATRIK

Nomor 1

Suatu perkalian matriks $\begin{pmatrix} 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix}$ menghasilkan matriks nol. Tentukan nilai x yang memenuhui persamaan tersebut!

Pembahasan:

$\begin{pmatrix} 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} = 0$

$\begin{pmatrix}6 - 3x & -2 + x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} = 0$

$6 - 3x + (-2 + x)x = 0$

$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

$(x-2)(x-3)$

Maka nilai x yang memenuhi adalah x1 = 2 dan x2 = 3.

Nomor 2

Jika matriks $\begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} x-1 & x-12 \\ -x & x+4 \end{pmatrix}$ saling invers, tentukan nilai x!

Pembahasan:

Diketahui bahwa kedua matriks tersebut saling invers, maka berlaku syarat AA-1 = A-1A = I.

Sehingga:

$\begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 & x-12 \\ -x & x+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 9(x-1) - 7x & 9(x-12) + 7(x+4) \\ 5(x-1) - 4x & 5(x-12) + 4(x+4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Sehingga pada elemen baris ke-1 kolom ke-1 memiliki persamaan:

9(x – 1) – 7x = 1

9x – 9 – 7x = 1

2x = 10

x = 5

Nomor 3

Jika determinan nilai matriks A adalah 4 kali determinan nilai matriks B, maka nilai x adalah…

Jawab :

det A = 4 det B
4 x (16 x ) – (-16) = 4 (108 – (-152))
4 x (4 2x ) + 16 = 4 (260)
4 3x = 4 (260) – 16
4 3x = 4 (260) – 4 (4)
4 3x = 4 (260 – 4)
4 3x = 4 (256)
4 3x = 4. 4 4
4 3x = 4 5
3x = 5
x = 5/3