BARISAN DAN DERET ARITMATIKA DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Marsha Regita

XI IPS 3 / 24

i. BARISAN ARITMATIKA

Barisan aritmatika merupakan barisan bilangan dengan pola yang tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Selisih antara dua suku berurutan pada barisan aritmatika disebut beda yang dilambangkan dengan b. Rumus untuk menentukan beda pada barisan aritmatika adalah sebagai berikut.

Keterangan:
b = beda;
U_n= suku ke-n;
U_n+1= suku sebelum suku ke-n; dan
n= banyaknya suku.

1. Bentuk barisan aritmatika

Adapun bentuk barisan aritmatika adalah sebagai berikut.

Rumus selisih atau bedanya, adalah sebagai berikut.

Keterangan:

U_n+1= suku ke-(n +1);

U_n = suku ke-n; dan

b = beda atau selisih.

Akibat dari rumus suku ke-n tersebut, dapat diperoleh:

U₁, U₂, U₃, …, U_n-2, U_n-1, U_n

a, a+b, a+2b, …, a+n-3b, a+n-2b, a+n-1b

Jika banyak suku (n) ganjil, suku tengah (Ut) barisan aritmatika dapat dirumuskan

sebagai berikut.

Sementara itu, jika di antara dua buah suku U1,U2,U3,…,Un disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika baru, beda dan banyak suku dari barisan tersebut akan berubah sesuai rumusan berikut.

Keterangan:

b’= beda barisan aritmatika baru;

b= beda barisan aritmatika lama;

k= banyak bilangan yang disisipkan;

n‘= banyak suku barisan aritmatika baru; dan

n= banyak suku barisan aritmatika lama.

Perlu diingat bahwa suku pertama barisan baru sama dengan suku pertama barisan lama.

2. Suku ke-n barisan aritmatika

Saat kamu diminta untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmatika, cara termudahnya adalah dengan menelusuri satu per satu sampai mencapai suku ke-n. Namun, cara ini tergolong tidak praktis dan membutuhkan banyak waktu. Jika yang diminta suku ke-10 mungkin masih bisa. Bagaimana jika yang diminta suku ke-1000? Kebayang kan betapa rumitnya? Untuk itu, rumus suku ke-n yang bisa kamu gunakan adalah sebagai berikut.

Keterangan:

a = suku awal (U1);

U_n= suku ke-n; dan

b = beda atau selisih.

3. Suku tengah barisan aritmatika

Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) ganjil, dengan suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut:

Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.

Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.

Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.

Suatu barisan U1, U2, U3,….disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).

3, 7, 11, 15, 19, …

Misalkan U1, U2, U3 , …. adalah barisan aritmatika tersebut maka

U1 = 3 =+ 4 (0)
U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)
U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
….
Un = 3 + 4(n-1)

Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n – 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan

Un = a + b(n-1)

Barisan aritmatika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.

U1, U2, U3, …….Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 – U1 = U3 – U2 = …. = Un – Un-1 = konstanta

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n

4. Sisipan bilangan pada barisan aritmatika

Misalkan kita menjumpai barisan aritmatika dengan beda b. Lalu, barisan aritmatika tersebut disisipi k bilangan di setiap 2 bilangan yang berdekatan. Setelah disisipi k bilangan, terbentuk barisan aritmatika baru yang bedanya b’. Pertanyaannya adalah berapakah beda bilangan aritmatika yang baru? Daripada pusing-pusing, gunakan persamaan berikut.

Ketentuannya, suku pertama barisan yang baru sama dengan suku pertama barisan sebelumnya karena bilangan yang disisipkan tidak berada di awal baris.

ii. DERET ARITMATIKA

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n-1)}$

atau sebagai:

$S_n + a + (a + b) + (a + 2b) + \cdots + (a + (n - 2)b) + (a + (n - 1)b)$

Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

$S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots +U_(n-1)$ .

$S_(n-1) = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_(n-1)$ .

$S_n - S_(n-1) = U_n$

Sehingga diperoleh $U_n = S_n - S_(n-1)$ .

iii. CONTOH SOAL BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

1. Suatu barisan aritmatika mempunyai jumlah suku ganjil. Apabila suku pertamanyanya 4 atau suku terakhirnya yaitu 20, maka dari suku tengahnya adalah …

PENYELESAIAN :

a = 4
Un = 20
Ut= a + Un2 = 20 + 42= 12

2. Suku ke-15 dari barisan: 2, 5, 8, 11, 14, … ialah…

PENYELESAIAN :

Barisan di atas adalah sebuah barisan aritmatika sebab juga mempunyai beda yang sangat konstan.

Suku pertama adalah = a= U1= 2
Beda adalah = b =U2 – U1= 5–2 adalah 3

Suku ke-15 = U15
Un = a + (n – 1) b
U15 = 2 + (15 – 1) 3
= 2 + 14 . 3
= 2 + 42
= 44

3. Diketahui juga deret aritmatika 17, 20, 23, 26, … Jumlah 30 suku pertama deret tersebut adalah…

PENYELESAIAN :

suku pertama adalah = a = 17
Beda adalah = b = U2-U1 = 20-17 adalah 3
Jumlah 30 suku pertama adalah = S30

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S30 = 30/2 (2.17 + (30-1)3)
= 15 (34 + 29.3)
= 15 (34 + 87)
= 15.121
= 1.815

4. Diketahui deret aritmatika dengan rumus Sn = 2n^2 + 3n. Beda deret aritmatika tersebut yaitu…

PENYELESAIAN :

Beda bisa kita cari dengan cara mengurangkan jumlah 2 suku (S2) dengan jumlah 1 suku (S1), sehingga:

Sn = 2n^2 + 3n
S2 = 2.2^2 + 3.2
= 2.4 + 6
= 8 + 6
= 14

Sn = 2n^2 + 3n
S1 = 2.1^2 + 3.1
= 2.1 + 3
= 2 + 3
= 5

beda = b = S2-S1
= 14 – 5
= 9

5. Suatu deret aritmatika 5, 15, 25, 35, …

Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika tersebut?

PENYELESAIAN :

n = 10
U1 = a = 5
b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10

Sn = (2a + (n-1) b )
S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5 . 100 = 500

6. Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika : 3 + 5 + 7 + 9 + ….. adalah …..

PENYELESAIAN :

a = 3

b = U3 – U2 – 1

= U3 – U2

= 7 – 5

= 2

Sn = n (2a + (n-1)b)

= 10 (2 (5) + (10-1)2)

= 5 (6+9) 2

= 120

7. Dari suatu barisan aritmatika diketahui U2 = 7 dan U6 = 19. Suku ke 8 dari barisan aritmatika tersebut adalah …..

PENYELESAIAN :

Un = a + (n-1) b

U2 = a + (2-1) b = 7

= a + 1b = 7

U6 = a + (6-1)b = 19

= a + 5b = 19

Eliminasi :

a + 1 b = 7

a + 5b = 19

-4b = -12

b = – = 3

Subtitusi :

b = 3

a + 1 b = 7

a + 1 (3) = 7

a + 3 = 7

a = 7 -3 = 4

Un = a + (n-1) b

U8 = 4 + (8-1) 3

= 4 + (7 . 3)

= 25

8. Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …

PENYELESAIAN :

Diketahui: a = 7
b = –2

$U_{n}=a+(n-1)b$
$U_{40}=7+(40-1)(-2)$
= 7 + 39 . (-2)
= 7 + (-78)
= – 71
Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71.

9. Rumus jumlah n suku pertama deret bilangan 2 + 4 + 6 + … + $U_{n}$ adalah …

PENYELESAIAN :

$S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
$=\frac{n}{2}(2.2+(n-1)2)$
$=\frac{n}{2}(4+2n-2)$
$=\frac{n}{2}(2+2n)$
$=\frac{n}{2}.2(1+n)$
$=n(1+n)$
$=n+n^{2}$

Jadi, rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut adalah $S_{n}=n+n^{2}$

10. Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah …

PENYELESAIAN :

Diketahui: a = 12

b = 2

$U_{n}=a+(n-1)b$
$U_{20}=12+(20-1)2$
$=12+(19).2$
$=12+(38)$
$=50$

Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 kursi.

iii. DAFTAR PUSTAKA

https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/barisan-dan-deret-matematika-kelas-11/

https://www.yuksinau.id/barisan-dan-deret-matematika/

https://www.gurupendidikan.co.id/deret-aritmatika/

https://www.zenius.net/blog/23365/materi-soal-barisan-deret-aritmatika

https://www.studiobelajar.com/barisan-deret-aritmatika-geometri/

Search This Blog

Matematika sma