KISI KISI MATEMATIKA KELAS 10 SEMESTER 2(PAT)

SOAL DAN PEMBAHASAN DARI KISI-KISI PAT

Perbandingan trigonometri

1. Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya….

Sin 30°

Tan 40°

Cos 35°

Jawab:

Sin 30° = sin (90° -70°)= cos 70°

Tan 40°= tan (90°-50°)= cot 50°

Cos 53°= cos (90° -37°)=sin 37° 

2. Tentukanlah nilai dari !

Jawab:

 berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti 

 berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama seperti 

 berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama seperti 

Jadi  

3. Jika sin(β) = 
$\frac{1}{2}$ dan sudut β lancip, tentukan nilai dari $se{c}^2\left(\beta \right)-ta{n}^2\left(\beta \right)$

PENYELESAIAN  :

sin(β) = $\frac{depan}{miring}$ = $\frac{1}{2}$

depan = 1
miring = 2
samping = $\sqrt{2^2-1^2}$ = $\sqrt{3}$

Sesuai definisi

sec(β) = $\frac{2}{\sqrt{3}}$

tan(β) = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

sec²(β) − tan²(β) = ($\frac{2}{\sqrt{3}}$)² − ($\frac{1}{\sqrt{3}}$)²
sec²(α) − tan²(α) = $\frac{4}{3}$ − $\frac{1}{3}$
sec²(α) − tan²(α) = 1

Jadi, sec²(β) − tan²(β) = 1

4.  Jika cos(γ) = 

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari $cs{c}^2\left(\gamma \right)-co{t}^2\left(\gamma \right)$

PENYELESAIAN :

cos(γ) = $\frac{samping}{miring}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$
samping = $\sqrt{2}$
miring = 2
depan = $\sqrt{2^2-(\sqrt{2}{)}^2}$ = $\sqrt{2}$

Sesuai definisi
csc(γ) = $\frac{2}{\sqrt{2}}$
cot(γ) = $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = 1

csc²(γ) − cot²(γ) = ($\frac{2}{\sqrt{2}}$)²  − (1)²
csc²(γ) − cot²(α) = 2 − 1
csc²(γ) − cot²(α) = 1

Jadi, csc²(γ) − cot²(γ) = 1

Sudut berelasi

5. Hitunglah nilai dari sin 120° + cos 225° – cos 30°. 

Penyelesaian soal :

sin 120° + cos 225° – cos 30° 

= sin (90° + 30°) + cos (180° + 45°) – cos 30° 

= cos 30° + cos 45° – cos 30° 

= cos 45° = 1/2 √2

6.Hitunglah nilai dari sin 330° + 2 cos 240° – sin 210°. 

Penyelesaian soal:

sin 330° + 2 cos 240° – sin 210°

 = sin (270° + 60°) + 2 cos (270° – 30°) – sin (270° – 60°) 

= – cos 60° + 2 sin 30° – (- cos 60°) 

= – 1/2 + 1 + 1/2 = 1 

7. Hitunglah nilai dari : 
a. sin 120° 
b. cos 150°
c. tan 135°  
Pembahasan: 
a. sin 120°  = sin (90 ° + 30°)   
⇒ sin 120°  = cos 30°  
⇒ sin 120 ° = ½√3 
b. cos 150°  = cos (90 ° + 60°) 
⇒ cos 150° = -sin 60°  
⇒ cos 150° = -½√3 
c. tan 135°  = tan (90°  + 45°  ) 
⇒ tan 135°  = -cot 45°
⇒ tan 135°  = -1 

8. Diketahui cot (x + 36°) = tan 2x. Jika 2x adalah sudut lancip, tentukan nilai x !

Pembahasan :

cot (x + 36°) = tan 2x

Karena 2x sudut lancip, pastilah 2x terletak dikuadran I. Dengan menggunakan relasi sudut kuadran I, maka :

tan 2x = cot (90° − 2x)

Sehingga

cot (x + 36°) = cot (90° − 2x)

x + 36 = 90° − 2x

3x = 54

x = 18

9.Untuk setiap perbandingan trigonometri berikut, nyatakan dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya !
sin 20°
tan 40°
cos 53°

Jawab :
sin 20° = sin (90° − 70°)
sin 20° = cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)
tan 40° = cot 50°

cos 53° = cos (90° − 37°)
cos 53° = sin 37°
Jika kita perhatikan sin berubah menjadi cos, tan berubah menjadi cot dan cos berubah menjadi sin dikarenakan relasi yang digunakan adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri diatas bernilai positif, karena sudut 20°, 40° dan 53° berada di kuadran I. 

Aturan sinus cosinus dan luas segitiga

10. Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AC = 4 cm. Jika besar ∠ ABC = 60  dan ∠BAC = 30 , maka panjang BC = … cm.

AC/sin ∠ABC = BC/sin∠BAC

4cm/sin 60 = BC/sin30

4cm/½√3 = BC/½

BC = ½ × 4cm/½√3

BC = 4cm/√3

BC = 4/3 √3 cm

Jadi, panjang BC adalah BC4/3 √3cm.

11. Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki sisi dengan panjang a = 10 cm c = 12 cm besar sudut B = 60̊. Hitung panjang sisi b!

b = a + c  – 2ac cos B 

b = 100+144 – 44 cos 60̊ 

b = 244 – 44(0,5) 

b = 244 – 22 

b = 222 

b = 14,8997 

Jadi, panjang sisi b adalah 14,8997 cm

12. segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 6 √3, <A = 60°, <B = 45°. 

Maka berapakah panjang B?Pembahasan : 

a/sin A = b/sin B

6 √3 / sin 60° = b / sin 45°

6 √3 / ½ √3 = b /  ½ √2

B = 6 √2

Jadi, panjang B adalah 6 √2

13. Pada △ABC diketahui bahwa <A = 30°, BC = 6cm dan AC = 10cm. Maka tentukanlah nilai dari Sin B!
Pembahasan:

BC = a dan AC = b

   a       =    b  
Sin A     Sin B

  6     =     10  
Sin30°   Sin B

⇔ Sin B = 10 x Sin30°  ⇔  Sin B = 10 x ½   ⇔ Sin B = 5

14. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a dan b berturut-turut 5 cm dan 6 cm. Jika besar sudut C adalah 52° , maka panjang sisi c adalah ....

 

Penyelesaiaan :

Berdasarkan aturan cosinus :

⇒ c = a2 + b2 – 2ab cos C

⇒ c2 = 52 + 62 – 2 (5)(6) cos 52°

⇒ c2 = 25 + 36 – 60 (0,615)

⇒ c2 = 61 – 36,9

⇒ c2 = 24,1

⇒ c = 4,9 cm

Jadi, panjang sisi c adalah 4,9 cm.

Persamaan trigonometri

15. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x =  ½ ….

Penyelesaian : 

16. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin x = sin 2/10 π, 0 ≤ x ≤ 2π …..
Penyelesaian : 

17. Himpunan penyelesaian persamaan:

cos 2x + sin x = 0
untuk 0 < x ≤ 2π adalah.....
PENYELESAIAN :

Dari rumus sudut rangkap dari pelajaran sebelumnya:

cos 2x = cos2 x − sin2x cos 2x = 2 cos2 x − 1 cos 2x = 1 − 2 sin2 x

cos 2x + sin x = 0
1 − 2 sin² x + sin x = 0
− 2 sin² x + sin x + 1 = 0
2 sin² x − sin x − 1 = 0

Faktorkan:
(2sin x + 1)(sin x − 1) = 0
2sin x + 1 = 0
2sin x = −1
sin x = −¹/₂
x = 210° dan x = 330°
atau
sin x − 1 = 0
sin x = 1
x = 90°

Sehingga:
HP = {90°, 210°, 330°} dalam satuan derajat.
HP = {π/2, 7π/6, 11π/6} dalam satuan radian.

Grafik trigonometri
18. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi trigonometri di bawah in!

a. f(x) = 2 sin 2x + 5

b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8

Pembahasan :

a. f(x) = 2 sin 2x + 5 → a = 2 , c = 5

Nilai maksimum = |a| + c = |2| + 5 = 7

Nilai minimum = -|a| + c = -|2| + 5 = 3

b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8 → a = -3 , c = -8

Nilai maksimum = |a| + c = |-3| + |-8| = 11

19. Grafik f(x)= 2 cos x memotong sumbu-X di titik berkoordinat...

Pembahasan:

Apabila grafik memotong sumbu-$X$, maka nilai $f\left(x\right)=y=0$. Dengan demikian,
$f\left(x\right)=2\cos x\Rightarrow 0=2\cos x\iff \cos x=0$
Nilai $x$ yang membuat $\cos x$ bernilai 0 adalah ${90}^{\circ }$.
Jadi, titik potong grafiknya berkoordinat $({90}^{\circ },0)$

20. Perhatikan grafik di bawah!

Persamaan fungsi trigonometri yang sesuai pada grafik di atas adalah ….

 Pembahasan:

Grafik fungsi trigonometri merupakan bentuk grafik fungsi sinus. Persamaan umum grafik fungsi trigonometri untuk fungsi sinus adalah:

  

Menghitung banyaknya gelombang dalam 1 periode (k):

Berdasarkan informasi grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal, diketahui bahwa pada rentang  sampai dengan  memuat setengah periode.

  

  

  

Jadi banyaknya gelombang dalam satu periode adalah 1 (k = 1).

Mencari nilai Amplitudo (A): nilai tertinggi yang dapat dicapai grafik fungsi trigonometri adalah 2 atau – 2 , sehingga nilai amplitudonya sama dengan 2 (A = 2).

Grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal bergeser sejauh  ke arah kiri, sehingga persamaan akan mendapat tambahan + .

Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan soal adalah:

  

  

jawaban: A