SOAL DAN PEMBAHASAN

Assalamu'alaikum wr wb.
Hai semua saya Marsha dari SMAN 63 Jakarta Selatan kelas 10 X IPS 3.
Jadi kali ini di blog pertama saya,akan mengupload tugas yg diberikan oleh guru matematika saya.
tugas ini berisi materi yang saya sukai dalam pembelajaran matematika semester 2, yaitu bab 6 mengenai perbandingan trigonometri dan akan memberikan penjelasan sedikit mengenai materi yang dibahas.

Mengapa saya menyukai materi ini? Karena materi ini merupakan salah satu materi yang menurut sebagian orang sulit, tetapi jika kita mengetahui manfaatnya dan mempelajarinya maka kita akan lebih tertarik dan penasaran dengan trigonometri. Dan materi ini pernah diajarkan saat kelas 9 dan dikembangkan lagi di kelas 10.


Trigonometri adalah ilmu matematika yang mempelajari tentang sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisi. Dasarnya menggunakan bangun datar segitiga. Hal ini karena arti dari kata trigonometri sendiri yang dalam bahasa Yunani yang berarti ukuran-ukuran dalam sudut tiga atau segitiga.
sudut identitas:

sudut istimewa:

Sudut berelasi dalam trigonometri:

Contoh trigonometri:

Tentukanlah nilai dari  

Jawab:

berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti 

Berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama seperti 

berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama seperti 

Jawab:

terimakasih wassalamualaikum wr wb
-Marsha Regita (27 april 2020)

soal dan pembahasan trigonometri

 3.7 menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri radian ke derajat,derajat ke radian
1. Ubahlah  sudut-sudut berikut dalam derajat
a.  π/3 rad = ... °
b.  4π rad = ... °

 Jawab :
a.  π/3   rad  =  π/3  . 180°π180°π  =  60°
b.  4π rad  =  4π . 180°π180°π  =  720°

2. Ubahlah sudut-sudut berikut dalam radian
a. 30° = ... rad
b. 270° = ... rad

Jawab :
a.  30°  =  30 . π/(180°)rad  = π/6 rad
b.  270°  =  270 . ππ/(180°) rad  =  3π/2 rad

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku dan dudut istimewa (600 , 300 , 450 )

3.

Pada gambar diatas segitiga siku-siku abc dengan panjang a=8 dan c= 10 tentukan keenam perbandingan trigonometri untuk a…

Jawab:

Nilai b dihitung dengan teorema phytagoras

b= √(〖10〗^2-8^2  )

  = √(100-64)

  = √36 = 6

Sin a=a/c=8/10 csc a=c/a=10/8

Cos a=b/c=6/10 sec a=c/b=10/6

Tan a= a/b=8/6 cot a=b/a=6/8

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku di dalam koordinat kartesius

4. Sebuah perahu berlayar dari pelabuhan dengan arah 45°. Kecepatan rata-rata perahu 12km/jam. Setelah 5 jam,jarak perahu dari timur pelabuhan adalah... M
 Pembahasan :
Jarak = 12 . 5 = 60 km
Sudut dari timur ke pelabuhan = 90 - 60 = 30 derajat
Sin 30 = y/60
1/2 = y/60
1/2 . 60 = y
30 km = y

3.7 Menyelesaikan nilai trigonometri pada suatu sudut segitiga siku-siku pada koordinat cartesius

5. Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

 sin 20°

pembahasan :

sin 20° = sin (90° − 70°)

= cos 70°

 tan 40°

pembahasan :

tan 40° = tan (90° − 50°)

= cot 50°

3.7 Menyelesaikan komposisi operasi (+, -, :, dan •) nilai trigonometri 

6. nilai dari sin 30° . cos 60° + sin 60° . cos 30°

Pembahasan :

sin 30° . cos 60° + sin 60° . cos 30°

1/2   . 1/2 + 1/2  . 1/2

1/4  + 1/4 .

1/4 + 1/4 . 3

1/4 + 3/4

4/4

= 1

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran

7. Jika sin a = 1/2 , a di kuadran II , maka nilai dari tan a

Pembahasan :

Jadi tan A adalah : -1/3

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut berelasi (kuadrat: I, II, III, IV), sudut negatif, dan sudut > 360⁰

8. Jika sin 30° =½ maka cos 300°=

Pembahasan :

cos 300°

cos (360° - 60°)

cos 60°

cos (90° - 30°)

sin 30°

= 1/2

3.8 Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan indentitas trigonometri = rumus identitas trigonometri

9. Buktikan bahwa persamaan identitas trigonometri di bawah adalah benar!

bukti:

 3.8 menyelesaikan persamaan trigonometri

10.  Nilai x yang memenuhi persamaan sin x 1/2 √3 persamaan trigono untuk

 0°≤x≤360° adalah…….

Jawab:

Kemungkinan 1

x=60°+k.360°

untuk k=0 ,diperoleh x=60° (benar)

untuk k=1 ,diperoleh x=420° (salah)

kemungkinan 2

x=(180°-60°) + k.360°

x=120° + k.360°

untuk k=0 ,diperoleh x=120° (benar)

untuk k=1 ,diperoleh x=480° (salah)

jadi nilai x yang memenuhi persamaan tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpunan adalah {60°,120°}.

11. Jika 0°≤x≤180° maka x yang memenuhi tan (2x-10°)=√3

Jawab :

Tan (2x-10°)= √3

Tan (2x-10°)=60°

2x-10=60 +(k.180)

2x = 60 + 10 + (k.180)

2x =20 + (k.180) = 2

 X = 35 + (k.90)

K=0 x= 35 + (0.90)

x= 35

k=1 x=35+ (1.90)

x=125

k=2 x=35+ (2.90)

x=215 tm

x yang memenuhi = {35°,125°}

3.8 perbandingan trigonometri

12. Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya….

Sin 30°

Tan 40°

Cos 35°

Jawab:

Sin 30° = sin (90° -70°)= cos 70°

Tan 40°= tan (90°-50°)= cot 50°

Cos 53°= cos (90° -37°)=sin 37°

13.  Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan kecepatan 40 km/jam selama 2 jam dengan arah 030°, kemudian melanjutkan perjalanan dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan kecepatan 60 km/jam selama 2,5 jam dengan arah 150°. Buatlah sketsa perjalanan kapal dan tentukan jarak antara pelabuhan A dan C!
PEMBAHASAN :
Jarak = kecepatan x waktu
Jarak pelabuhan A ke B adalah 40 x 2 = 80 km
Jarak pelabuhan B ke C adalah 60 x 2,5 = 150 km

Perhatikan gambar terlampir.

Besar sudut ABC adalah 30° + 30° = 60°

Gunakan aturan cosinus untuk mencari AC

AC² = AB² + BC² - [2 x AB x BC x cos ∠ABC]

AC² = 80² + 150² - [2 x 80 x 150 x cos 60°]

AC² = 28.900 - [2 x 80 x 150 x ¹/₂]

AC² = 28.900 - 12.000

AC = √ 16.900

Diperoleh jarak antara pelabuhan A dan C sejauh 130 km

3.8 Menyelesaikan Koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinat kutub

14. Untuk koordinat kutub ke koordinat kartesius

Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya adalah.....

PEMBAHASAN :

koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius

              (r , α) ⇒ ( x , y )

r = 6√3 ;         α = 60° 

(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)

x = r cos α

⇒ 6√3 x cos 60°

⇒ 6√3 x 1/2

⇒ 3√3

y = r sin α

⇒ 6√3 x sin 60°

⇒ 6√3 x 1/2 √3

⇒ 3 x 3

⇒ 9

sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9)

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 2 sudut dan 1 sisi

15. Pada segitiga ABC diketahui AC=10 cm, besar sudut B=45 derajat, dan besar sudut A=30 derajat. tentukan panjang BC.

Diketahui :
Panjang AC = b = 10 cm
Sudut B = 45°
Sudut A = 30°

Ditanyakan :
Panjang BC = a = ......

Pembahasan :
Dengan aturan sinus
a/(sin A) = b/(sin B)
a/(sin 30°) = 10/(sin 45°)
a/(1/2) = 10/(1/2 √2)
a/1 = 10/(√2)
a = 10/(√2) . (√2)/(√2)
a = (10 √2)/2

a = 5 √2

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 1 sudut dan 2 sisi

16.  Diketahui suatu taman di tengah kota berbentuk segitiga sembarang. Jika sudut apit sebesar 60o dan dua sisi yang mengapitnya masing-masing panjangnya 18 meter dan 16 meter, maka luas taman tersebut adalah 

Pembahasan :

L = 1/2 . 18. 16. Sin 60o

L = 1/2 . 18 . 16 . 1/2

Maka L = 72 m2

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sisi

17. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a dan b berturut-turut 5 cm dan 6 cm. Jika besar sudut C adalah 52° , maka panjang sisi c adalah ....

PEMBAHASAN :

Berdasarkan aturan cosinus :

⇒ c = a² + b² – 2ab cos C

⇒ c² = 5² + 6² – 2 (5)(6) cos 52°

⇒ c² = 25 + 36 – 60 (0,615)

⇒ c² = 61 – 36,9

⇒ c^{2 =} 24,1

⇒ c = 4,9 cm

Jadi, panjang sisi c adalah 4,9 cm.

18. Jika panjang sisi a dalam segitiga ABC adalah setengah dari panjang sisi b dan besar sudut C adalah 60^o, maka hubungan antara panjang sisi a dan c yang benar adalah ....

PEMBAHASAN :

Berdasarkan aturan cosinus: 

⇒ c² = a ² + b ² − 2ab cos C

⇒ c ² = a ² + (2a)² − 2a(2a) cos 60^o

⇒ c ² = a ² + 4a ² − 4a ² (0,5)

⇒ c ² = 5a ² − 2a ²

⇒ c ² = 3a ²

⇒ c = √3 a

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sudut

19. Dalam segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 7 cm, b = 8 cm, dan c = 9cm. Besar sudut di hadapan sisi terpendek adalah .... 

PEMBAHASAN :

Berdasarkan aturan cosinus: 

⇒ cos A = cos A = (b² + c² − a² ) / 2bc

⇒ cos A = (8² + 9² − 7² ) / 2(8)(9)

⇒ cos A = (64 + 81 − 49) / 144

⇒ cos A = 96/144

⇒ cos A = 0,666

⇒ A = 48,2^o

Jadi, besar sudut di hadapan sisi terpendek adalah 48,2^o 

3.9 Menyelesaikan Luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi

20. Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc

Pembahasan :

L = ½.ab.ac.Sin a

L = ½.6.8.Sin 150°

L = 12 cm²

 

3.10 Menyelesaikan gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

21. Grafik di atas merupakan modifikasi grafik cosinus (karena tidak dimulai dari garis normal di sumbu-

$X$) dengan bentuk umum $f\left(x\right)=a\cos kx$.
Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum fungsinya $\frac{1}{2}$, sedangkan nilai minimumnya $-\frac{1}{2}$, sehingga
$\begin{array}{cc}a& =\frac{\text{N. Maksimum}-\text{N. Minimum}}{2}\\ & =\frac{\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})}{2}=\frac{1}{2}\end{array}$
Saat $x=0^{\circ }$, nilai fungsinya $\frac{1}{2}$, lalu berulang kembali di $x=\pi$, sehingga periodenya $\pi$. Dengan demikian, $k=\frac{2\pi }{\text{Periode}}=\frac{2\pi }{\pi }=2$.

Grafik fungsi di atas adalah grafik fungsi f(x)=1/2cos 2x

3.10 Menyelesaikan membaca gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

^22. Diketahui f(x) = sin(cos x)

jawab : f"(x) = - (cos x) . (cos (cos x)) – (sin x) . (sin x) . (sin (cos x))

23. Temukan turunan pertama dari f (x) = tan x + Sec x

jawab : f''(x) = sec 2x + Sec  x tan x = Sec x ( Sec x + tan x)

3.10 Menyelesaikan Range nilai fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

24. Pada interval 0° < x < 90° grafik fungsi seluruhnya berada di atas sumbu x. fungsi tersebut adalah

pembahasan :

y = sin 2* 0 = sin  0 = 0

y = sin 2 * 45 = sin 90 = 1

y = sin 2 * 90 = sin 180 = 0

Fungsi y = sin 2x

3.7 Menyelesaikan sudut elevasi, sudut depresi

25. Seorang anak dengan tinggi 160 cm berdiri pada jarak 12 m dari kaki tiang bendera. Jika sudut depresi dari puncak tiang terhadap anak adalah 45° maka tinggi tiang bendera itu adalah …

pembahasan :

tan 45⁰ = 

1 = 

maka, x = 12

3.10 Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum

26.  Nilai minimum dari fungsi y = √3 cos x - sin x adalah...

pembahasan : 

Nilai Maksimum minimum fungsi trigonometri

y = √3 cos x - sin x  ubah  bentuk ke y = k  cos ( x -  a)

a= √3

b = - 1

k = √(a²+b²)

k = √(3 +1)= +_2

Jadi, nilai minimum nya adalah = -2

Sekian semoga materi yang saya sampaikan bermanfaat terimakasih, wassalamu'alaikum wr wb🙏🏻🙏🏻❤
-Marsha Regita (11 mei 2020)